# 毎日一题 -  64.最小路径和

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* 时间：2019-08-09
* 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum/
- tag：`动态规划` `Array`
## 题目描述
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
**说明**：每次只能向下或者向右移动一步。
**示例:**
```
输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
```
## 参考答案

我们新建一个额外的dp数组，与原矩阵大小相同。在这个矩阵中,dp(i,j)表示从原点到坐标(i,j)的最小路径和。我们初始化dp值为对应的原矩阵值，然后去填整个矩阵，对于每个元素考虑从上方移动过来还是从左方移动过来，因此获得最小路径和我们有如下递推公式：`dp(i,j)=grid(i,j)+min(dp(i-1,j),dp(i,j-1))`


我们可以使用原地算法，这样就不需要开辟dp数组，空间复杂度可以降低到$O(1)$。

```c++
class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int n = grid.size();
        if(n==0)
            return 0;
        int m = grid[0].size();
        if(m==0)
            return 0;
        //初始化第一行
        for(int i=1;i<m;i++)
        {
            grid[0][i] += grid[0][i-1];
        }
        //初始化第一列
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            grid[i][0] += grid[i-1][0];
        }
        
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            for(int j=1;j<m;j++)
            {
                //计算出到当前位置的最小值
                grid[i][j]+=min(grid[i-1][j],grid[i][j-1]);
            }
        }
        return grid[n-1][m-1];
    }
};
```


**复杂度分析**
- 时间复杂度：$O(M * N)$
- 空间复杂度：$O(1)$
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