## 题目地址（1131. 绝对值表达式的最大值）

https://leetcode-cn.com/problems/maximum-of-absolute-value-expression/description/

## 题目描述

给你两个长度相等的整数数组，返回下面表达式的最大值：

|arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|

其中下标 i，j 满足 0 <= i, j < arr1.length。

示例 1：

输入：arr1 = [1,2,3,4], arr2 = [-1,4,5,6]
输出：13
示例 2：

输入：arr1 = [1,-2,-5,0,10], arr2 = [0,-2,-1,-7,-4]
输出：20

提示：

2 <= arr1.length == arr2.length <= 40000
-10^6 <= arr1[i], arr2[i] <= 10^6

## 解法一（数学分析）

### 思路

如图我们要求的是这样一个表达式的最大值。arr1 和 arr2 为两个不同的数组，且二者长度相同。i 和 j 是两个合法的索引。

> 红色竖线表示的是绝对值的符号

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwly1gamo3dx1bej30q003y74f.jpg)

我们对其进行分类讨论，有如下八种情况：

> |arr1[i] -arr1[j]| 两种情况
> |arr2[i] -arr2[j]| 两种情况
> |i - j| 两种情况
> 因此一共是 2 \* 2 \* 2 = 8 种

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwgy1gamosnsknej30tg0viq6w.jpg)

由于 i 和 j 之前没有大小关系，也就说二者可以相互替代。因此：

- 1 等价于 8
- 2 等价于 7
- 3 等价于 6
- 4 等价于 5

也就是说我们只需要计算 1，2，3，4 的最大值就可以了。（当然你可以选择其他组合，只要完备就行）

为了方便，我们将 i 和 j 都提取到一起：

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwly1gamp5sizefj30qs0g6gmx.jpg)

容易看出等式的最大值就是前面的最大值，和后面最小值的差值。如图：

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwly1gamp9c3g9lj30r20kcabx.jpg)

再仔细观察，会发现前面部分和后面部分是一样的，原因还是上面所说的 i 和 j 可以互换。因此我们要做的就是：

- 遍历一遍数组，然后计算四个表达式， arr1[i] + arr2[i] + i，arr1[i] - arr2[i] + i，arr2[i] - arr1[i] + i 和 -1 \* arr2[i] - arr1[i] + i 的 最大值和最小值。
- 然后分别取出四个表达式最大值和最小值的差值（就是这个表达式的最大值）
- 四个表达式最大值再取出最大值

### 关键点

- 数学分析

### 代码

```python
class Solution:
    def maxAbsValExpr(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
        A = []
        B = []
        C = []
        D = []
        for i in range(len(arr1)):
            a, b, c, d = arr1[i] + arr2[i] + i, arr1[i] - arr2[i] + \
                i, arr2[i] - arr1[i] + i, -1 * arr2[i] - arr1[i] + i
            A.append(a)
            B.append(b)
            C.append(c)
            D.append(d)
        return max(max(A) - min(A), max(B) - min(B), max(C) - min(C), max(D) - min(D))
```

## 解法二（曼哈顿距离）

### 思路

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwly1gampnn032tj308l0a8mxl.jpg)

（图来自： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A0%93%E8%B7%9D%E9%9B%A2）

一维曼哈顿距离可以理解为一条线上两点之间的距离: |x1 - x2|，其值为 max(x1 - x2, x2 - x1)

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwgy1gampr362oaj30l004mdfv.jpg)

在平面上，坐标（x1, y1）的点 P1 与坐标（x2, y2）的点 P2 的曼哈顿距离为：|x1-x2| + |y1 - y2|,其值为 max(x1 - x2 + y1 - y2, x2 - x1 + y1 - y2, x1 - x2 + y2 - y1, x2 -x1 + y2 - y1)

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwgy1gampwhua9fj30rq0lmdgl.jpg)

然后这道题目是更复杂的三维曼哈顿距离，其中(i, arr[i], arr[j])可以看作三位空间中的一个点，问题转化为曼哈顿距离最远的两个点的距离。
延续上面的思路，|x1-x2| + |y1 - y2| + |z1 - z2|,其值为 :

max(

x1 - x2 + y1 - y2 + z1 - z2,

x1 - x2 + y1 - y2 + z2 - z1,

x2 - x1 + y1 - y2 + z1 - z2,

x2 - x1 + y1 - y2 + z2 - z1,

x1 - x2 + y2 - y1 + z1 - z2,

x1 - x2 + y2 - y1 + z2- z1,

x2 -x1 + y2 - y1 + z1 - z2，

x2 -x1 + y2 - y1 + z2 - z1

)

我们可以将 1 和 2 放在一起方便计算：

max(

x1 + y1 + z1 - (x2 + y2 + z2)，

x1 + y1 - z1 - (x2 + y2 - z2)

...

)

我们甚至可以扩展到 n 维，具体代码见下方。

### 关键点

- 曼哈顿距离
- 曼哈顿距离代码模板

> 解题模板可以帮助你快速并且更少错误的解题，更多解题模板请期待我的[新书](https://lucifer.ren/blog/2019/12/11/draft/)(未完成)

### 代码

```python
class Solution:
    def maxAbsValExpr(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
        # 曼哈顿距离模板代码
        sign = [1, -1]
        n = len(arr1)
        dists = []
        # 三维模板
        for a in sign:
            for b in sign:
                for c in sign:
                    maxDist = float('-inf')
                    minDist = float('inf')
                    # 分别计算所有点的曼哈顿距离
                    for i in range(n):
                        dist = arr1[i] * a + arr2[i] * b + i * c
                        maxDist = max(maxDist, dist)
                        minDist = min(minDist, dist)
                    # 将所有的点的曼哈顿距离放到dists中
                    dists.append(maxDist - minDist)
        return max(dists)
```

## 总结

可以看出其实两种解法都是一样的，只是思考角度不一样。

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