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## 题目地址
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https://leetcode.com/problems/maximum-subarray-sum-with-one-deletion/
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## 题目描述
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给你一个整数数组，返回它的某个 非空 子数组（连续元素）在执行一次可选的删除操作后，所能得到的最大元素总和。
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换句话说，你可以从原数组中选出一个子数组，并可以决定要不要从中删除一个元素（只能删一次哦），（删除后）子数组中至少应当有一个元素，然后该子数组（剩下）的元素总和是所有子数组之中最大的。
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注意，删除一个元素后，子数组 不能为空。
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请看示例：
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示例 1：
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输入：arr = [1,-2,0,3]
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输出：4
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解释：我们可以选出 [1, -2, 0, 3]，然后删掉 -2，这样得到 [1, 0, 3]，和最大。
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示例 2：
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输入：arr = [1,-2,-2,3]
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输出：3
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解释：我们直接选出 [3]，这就是最大和。
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示例 3：
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输入：arr = [-1,-1,-1,-1]
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输出：-1
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解释：最后得到的子数组不能为空，所以我们不能选择 [-1] 并从中删去 -1 来得到 0。
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我们应该直接选择 [-1]，或者选择 [-1, -1] 再从中删去一个 -1。
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提示：
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1 <= arr.length <= 10^5
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-10^4 <= arr[i] <= 10^4
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## 思路
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### 暴力法
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符合知觉的做法是求出所有的情况，然后取出最大的。 我们只需要两层循环接口，外循环用于确定我们丢弃的元素，内循环用于计算subArraySum。
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```python
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class Solution:
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def maximumSum(self, arr: List[int]) -> int:
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res = arr[0]
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def maxSubSum(arr, skip):
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res = maxSub = float("-inf")
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for i in range(len(arr)):
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if i == skip:
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continue
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maxSub = max(arr[i], maxSub + arr[i])
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res = max(res, maxSub)
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return res
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# 这里循环到了len(arr)项，表示的是一个都不删除的情况
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for i in range(len(arr) + 1):
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res = max(res, maxSubSum(arr, i))
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return res
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```
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### 空间换时间
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上面的做法在LC上会TLE， 因此我们需要换一种思路，既然超时了，我们是否可以从空间换时间的角度思考呢？我们可以分别从头尾遍历，建立两个subArraySub的数组l和r。 其实这个不难想到，很多题目都用到了这个技巧。
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具体做法：
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- 一层遍历， 建立l数组，l[i]表示从左边开始的以arr[i]结尾的subArraySum的最大值
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- 一层遍历， 建立r数组，r[i]表示从右边开始的以arr[i]结尾的subArraySum的最大值
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- 一层遍历， 计算 l[i - 1] + r[i + 1] 的最大值
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> l[i - 1] + r[i + 1]的含义就是删除arr[i]的子数组最大值
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- 上面的这个步骤得到了删除一个的子数组最大值， 不删除的只需要在上面循环顺便计算一下即可
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```python
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class Solution:
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def maximumSum(self, arr: List[int]) -> int:
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n = len(arr)
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l = [arr[0]] * n
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r = [arr[n - 1]] * n
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if n == 1:
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return arr[0]
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res = arr[0]
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for i in range(1, n):
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l[i] = max(l[i - 1] + arr[i], arr[i])
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res = max(res, l[i])
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for i in range(n - 2, -1, -1):
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r[i] = max(r[i + 1] + arr[i], arr[i])
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res = max(res, r[i])
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for i in range(1, n - 1):
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res = max(res, l[i - 1] + r[i + 1])
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return res
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```
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### 动态规划
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上面的算法虽然时间上有所改善，但是正如标题所说，空间复杂度是O(n),有没有办法改进呢？答案是使用动态规划。
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具体过程：
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- 定义max0，表示以arr[i]结尾且一个都不漏的最大子数组和
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- 定义max1，表示以arr[i]或者arr[i - 1]结尾，可以漏一个的最大子数组和
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- 遍历数组，更新max1和max0（注意先更新max1，因为max1用到了上一个max0）
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- 其中` max1 = max(max1 + arr[i], max0)`, 即删除arr[i - 1]或者删除arr[i]
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- 其中` max0 = max(max0 + arr[i], arr[i])`， 一个都不删除
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```python
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#
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# @lc app=leetcode.cn id=1186 lang=python3
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#
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# [1186] 删除一次得到子数组最大和
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#
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# @lc code=start
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class Solution:
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def maximumSum(self, arr: List[int]) -> int:
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# DP
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max0 = arr[0]
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max1 = arr[0]
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res = arr[0]
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n = len(arr)
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if n == 1:
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return max0
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for i in range(1, n):
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# 先更新max1，再更新max0，因为max1用到了上一个max0
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max1 = max(max1 + arr[i], max0)
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max0 = max(max0 + arr[i], arr[i])
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res = max(res, max0, max1)
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return res
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# @lc code=end
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## 关键点解析
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- 空间换时间
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- 头尾双数组
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- 动态规划
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## 相关题目
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- [42.trapping-rain-water](./42.trapping-rain-water.md)
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