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## 题目地址（84. 柱状图中最大的矩形）
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https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram/
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## 题目描述
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`
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给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。
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求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。
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以上是柱状图的示例，其中每个柱子的宽度为 1，给定的高度为 [2,1,5,6,2,3]。
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图中阴影部分为所能勾勒出的最大矩形面积，其面积为 10 个单位。
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示例：
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输入：[2,1,5,6,2,3]
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输出：10
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## 暴力枚举 - 左右端点法（TLE）
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### 思路
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我们暴力尝试`所有可能的矩形`。由于矩阵是二维图形， 我我们可以使用`左右两个端点来唯一确认一个矩阵`。因此我们使用双层循环枚举所有的可能性即可。 而矩形的面积等于`（右端点坐标 - 左端点坐标 + 1) * 最小的高度`，最小的高度我们可以在遍历的时候顺便求出。
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### 代码
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```python
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class Solution:
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def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int:
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n, ans = len(heights), 0
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if n != 0:
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ans = heights[0]
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for i in range(n):
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height = heights[i]
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for j in range(i, n):
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height = min(height, heights[j])
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ans = max(ans, (j - i + 1) * height)
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return ans
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```
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**复杂度分析**
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- 时间复杂度：$O(N^2)$
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- 空间复杂度：$O(1)$
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## 暴力枚举 - 中心扩展法（TLE）
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### 思路
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我们仍然暴力尝试`所有可能的矩形`。只不过我们这一次从中心向两边进行扩展。对于每一个 i，我们计算出其左边第一个高度小于它的索引 p，同样地，计算出右边第一个高度小于它的索引 q。那么以 i 为最低点能够构成的面积就是`(q - p - 1) * heights[i]`。 这种算法毫无疑问也是正确的。 我们证明一下，假设 f(i) 表示求以 i 为最低点的情况下，所能形成的最大矩阵面积。那么原问题转化为`max(f(0), f(1), f(2), ..., f(n - 1))`。
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具体算法如下：
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- 我们使用 l 和 r 数组。l[i] 表示 左边第一个高度小于它的索引，r[i] 表示 右边第一个高度小于它的索引。
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- 我们从前往后求出 l，再从后往前计算出 r。
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- 再次遍历求出所有的可能面积，并取出最大的。
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### 代码
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```python
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class Solution:
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def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int:
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n = len(heights)
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l, r, ans = [-1] * n, [n] * n, 0
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for i in range(1, n):
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j = i - 1
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while j >= 0 and heights[j] >= heights[i]:
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j -= 1
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l[i] = j
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for i in range(n - 2, -1, -1):
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j = i + 1
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while j < n and heights[j] >= heights[i]:
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j += 1
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r[i] = j
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for i in range(n):
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ans = max(ans, heights[i] * (r[i] - l[i] - 1))
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return ans
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```
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**复杂度分析**
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- 时间复杂度：$O(N^2)$
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- 空间复杂度：$O(N)$
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## 优化中心扩展法（Accepted）
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### 思路
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实际上我们内层循环没必要一步一步移动，我们可以直接将`j -= 1` 改成 `j = l[j]`, `j += 1` 改成 `j = r[j]`。
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### 代码
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```python
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class Solution:
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def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int:
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n = len(heights)
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l, r, ans = [-1] * n, [n] * n, 0
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for i in range(1, n):
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j = i - 1
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while j >= 0 and heights[j] >= heights[i]:
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j = l[j]
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l[i] = j
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for i in range(n - 2, -1, -1):
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j = i + 1
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while j < n and heights[j] >= heights[i]:
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j = r[j]
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r[i] = j
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for i in range(n):
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ans = max(ans, heights[i] * (r[i] - l[i] - 1))
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return ans
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```
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**复杂度分析**
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- 时间复杂度：$O(N)$
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- 空间复杂度：$O(N)$
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## 单调栈（Accepted）
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### 思路
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实际上，读完第二种方法的时候，你应该注意到了。我们的核心是求左边第一个比 i 小的和右边第一个比 i 小的。 如果你熟悉单调栈的话，那么应该会想到这是非常适合使用单调栈来处理的场景。
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为了简单起见，我在 heights 首尾添加了两个哨兵元素，这样可以减少边界处理的额外代码。
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### 代码
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```python
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class Solution:
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def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int:
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n, heights, st, ans = len(heights), [0] + heights + [0], [], 0
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for i in range(n + 2):
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while st and heights[st[-1]] > heights[i]:
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ans = max(ans, heights[st.pop(-1)] * (i - st[-1] - 1))
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st.append(i)
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return ans
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```
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**复杂度分析**
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- 时间复杂度：$O(N)$
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- 空间复杂度：$O(N)$
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