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## 题目地址（1131. 绝对值表达式的最大值）
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https://leetcode-cn.com/problems/maximum-of-absolute-value-expression/description/
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## 题目描述
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给你两个长度相等的整数数组，返回下面表达式的最大值：
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|arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|
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其中下标 i，j 满足 0 <= i, j < arr1.length。
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示例 1：
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输入：arr1 = [1,2,3,4], arr2 = [-1,4,5,6]
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输出：13
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示例 2：
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输入：arr1 = [1,-2,-5,0,10], arr2 = [0,-2,-1,-7,-4]
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输出：20
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提示：
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2 <= arr1.length == arr2.length <= 40000
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-10^6 <= arr1[i], arr2[i] <= 10^6
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## 解法一（数学分析）
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### 思路
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如图我们要求的是这样一个表达式的最大值。arr1 和 arr2 为两个不同的数组，且二者长度相同。i 和 j 是两个合法的索引。
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> 红色竖线表示的是绝对值的符号
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我们对其进行分类讨论，有如下八种情况：
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> |arr1[i] -arr1[j]| 两种情况
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> |arr2[i] -arr2[j]| 两种情况
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> |i - j| 两种情况
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> 因此一共是 2 \* 2 \* 2 = 8 种
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由于 i 和 j 之前没有大小关系，也就说二者可以相互替代。因此：
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- 1 等价于 8
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- 2 等价于 7
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- 3 等价于 6
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- 4 等价于 5
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也就是说我们只需要计算 1，2，3，4 的最大值就可以了。（当然你可以选择其他组合，只要完备就行）
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为了方便，我们将 i 和 j 都提取到一起：
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容易看出等式的最大值就是前面的最大值，和后面最小值的差值。如图：
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再仔细观察，会发现前面部分和后面部分是一样的，原因还是上面所说的 i 和 j 可以互换。因此我们要做的就是：
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- 遍历一遍数组，然后计算四个表达式， arr1[i] + arr2[i] + i，arr1[i] - arr2[i] + i，arr2[i] - arr1[i] + i 和 -1 \* arr2[i] - arr1[i] + i 的 最大值和最小值。
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- 然后分别取出四个表达式最大值和最小值的差值（就是这个表达式的最大值）
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- 四个表达式最大值再取出最大值
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### 关键点
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- 数学分析
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### 代码
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```python
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class Solution:
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def maxAbsValExpr(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
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A = []
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B = []
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C = []
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D = []
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for i in range(len(arr1)):
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a, b, c, d = arr1[i] + arr2[i] + i, arr1[i] - arr2[i] + \
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i, arr2[i] - arr1[i] + i, -1 * arr2[i] - arr1[i] + i
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A.append(a)
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B.append(b)
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C.append(c)
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D.append(d)
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return max(max(A) - min(A), max(B) - min(B), max(C) - min(C), max(D) - min(D))
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```
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## 解法二（曼哈顿距离）
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### 思路
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（图来自： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A0%93%E8%B7%9D%E9%9B%A2）
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一维曼哈顿距离可以理解为一条线上两点之间的距离: |x1 - x2|，其值为 max(x1 - x2, x2 - x1)
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在平面上，坐标（x1, y1）的点 P1 与坐标（x2, y2）的点 P2 的曼哈顿距离为：|x1-x2| + |y1 - y2|,其值为 max(x1 - x2 + y1 - y2, x2 - x1 + y1 - y2, x1 - x2 + y2 - y1, x2 -x1 + y2 - y1)
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然后这道题目是更复杂的三维曼哈顿距离，其中(i, arr[i], arr[j])可以看作三位空间中的一个点，问题转化为曼哈顿距离最远的两个点的距离。
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延续上面的思路，|x1-x2| + |y1 - y2| + |z1 - z2|,其值为 :
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max(
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x1 - x2 + y1 - y2 + z1 - z2,
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x1 - x2 + y1 - y2 + z2 - z1,
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x2 - x1 + y1 - y2 + z1 - z2,
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x2 - x1 + y1 - y2 + z2 - z1,
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x1 - x2 + y2 - y1 + z1 - z2,
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x1 - x2 + y2 - y1 + z2- z1,
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x2 -x1 + y2 - y1 + z1 - z2，
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x2 -x1 + y2 - y1 + z2 - z1
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)
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我们可以将 1 和 2 放在一起方便计算：
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max(
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x1 + y1 + z1 - (x2 + y2 + z2)，
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x1 + y1 - z1 - (x2 + y2 - z2)
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...
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)
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我们甚至可以扩展到 n 维，具体代码见下方。
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### 关键点
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- 曼哈顿距离
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- 曼哈顿距离代码模板
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### 代码
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```python
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class Solution:
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def maxAbsValExpr(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
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# 曼哈顿距离模板代码
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sign = [1, -1]
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n = len(arr1)
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dists = []
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# 三维模板
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for a in sign:
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for b in sign:
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for c in sign:
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maxDist = float('-inf')
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minDist = float('inf')
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# 分别计算所有点的曼哈顿距离
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for i in range(n):
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dist = arr1[i] * a + arr2[i] * b + i * c
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maxDist = max(maxDist, dist)
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minDist = min(minDist, dist)
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# 将所有的点的曼哈顿距离放到dists中
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dists.append(maxDist - minDist)
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return max(dists)
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```
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## 总结
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可以看出其实两种解法都是一样的，只是思考角度不一样。
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## 相关题目
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