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## 题目地址（1227. 飞机座位分配概率）
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https://leetcode-cn.com/problems/airplane-seat-assignment-probability/description/
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## 题目描述
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```
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有 n 位乘客即将登机，飞机正好有 n 个座位。第一位乘客的票丢了，他随便选了一个座位坐下。
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剩下的乘客将会：
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如果他们自己的座位还空着，就坐到自己的座位上，
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当他们自己的座位被占用时，随机选择其他座位
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第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少？
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示例 1：
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输入：n = 1
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输出：1.00000
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解释：第一个人只会坐在自己的位置上。
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示例 2：
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输入: n = 2
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输出: 0.50000
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解释：在第一个人选好座位坐下后，第二个人坐在自己的座位上的概率是 0.5。
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提示：
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1 <= n <= 10^5
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```
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## 暴力递归
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这是一道 LeetCode 为数不多的概率题，我们来看下。
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### 思路
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我们定义原问题为 f(n)。对于第一个人来说，他有 n 中选择，就是分别选择 n 个座位中的一个。由于选择每个位置的概率是相同的，那么选择每个位置的概率应该都是 1 / n。
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我们分三种情况来讨论：
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- 如果第一个人选择了第一个人的位置（也就是选择了自己的位置），那么剩下的人按照票上的座位做就好了，这种情况第 n 个人一定能做到自己的位置
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- 如果第一个人选择了第 n 个人的位置，那么第 n 个人肯定坐不到自己的位置。
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- 如果第一个人选择了第 i (1 < i < n)个人的位置，那么第 i 个人就相当于变成了“票丢的人”，此时问题转化为 f(n - i + 1)。
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此时的问题转化关系如图：
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（红色表示票丢的人）
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整个过程分析：
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### 代码
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代码支持 Python3:
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Python3 Code:
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```python
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class Solution:
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def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
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if n == 1:
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return 1
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if n == 2:
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return 0.5
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res = 1 / n
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for i in range(2, n):
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res += self.nthPersonGetsNthSeat(n - i + 1) * 1 / n
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return res
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```
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上述代码会栈溢出。
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## 暴力递归 + hashtable
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### 思路
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我们考虑使用记忆化递归来减少重复计算，虽然这种做法可以减少运行时间，但是对减少递归深度没有帮助。还是会栈溢出。
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### 代码
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代码支持 Python3:
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Python3 Code:
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```python
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class Solution:
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seen = {}
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def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
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if n == 1:
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return 1
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if n == 2:
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return 0.5
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if n in self.seen:
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return self.seen[n]
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res = 1 / n
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for i in range(2, n):
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res += self.nthPersonGetsNthSeat(n - i + 1) * 1 / n
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self.seen[n] = res
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return res
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```
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## 动态规划
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### 思路
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上面做法会栈溢出。其实我们根本不需要运行就应该能判断出栈溢出，题目已经给了数据规模是 1 <= n <= 10 \*\* 5。 这个量级不管什么语言，除非使用尾递归，不然一般都会栈溢出，具体栈深度大家可以查阅相关资料。
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既然是栈溢出，那么我们考虑使用迭代来完成。 很容易想到使用动态规划来完成。其实递归都写出来，写一个朴素版的动态规划也难不到哪去，毕竟动态规划就是记录子问题，并建立子问题之间映射而已，这和递归并无本质区别。
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### 代码
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代码支持 Python3:
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Python3 Code:
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```python
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class Solution:
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def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
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if n == 1:
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return 1
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if n == 2:
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return 0.5
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dp = [1, .5] * n
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for i in range(2, n):
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dp[i] = 1 / n
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for j in range(2, i):
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dp[i] += dp[i - j + 1] * 1 / n
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return dp[-1]
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```
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这种思路的代码超时了，并且仅仅执行了 35/100 testcase 就超时了。
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## 数学分析
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### 思路
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我们还需要进一步优化时间复杂度，我们需要思考是否可以在线形的时间内完成。
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我们继续前面的思路进行分析, 不难得出，我们不妨称其为等式 1：
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```
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f(n)
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= 1/n + 0 + 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2))
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= 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + 1)
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= 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + f(1))
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```
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似乎更复杂了？没关系，我们继续往下看，我们看下 f(n - 1)，我们不妨称其为等式 2。
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```
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f(n-1) = 1/(n-1) * (f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1))
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```
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我们将等式 1 和等式 2 两边分别同时乘以 n 和 n - 1
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```
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n * f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1)
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(n-1) * f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1)
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```
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我们将两者相减：
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```
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n * f(n) - (n-1)*f(n-1) = f(n-1)
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```
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我们继续将 (n-1)\*f(n-1) 移到等式右边，得到：
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```
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n * f(n) = n * f(n-1)
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```
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也就是说:
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```
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f(n) = f(n - 1)
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```
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当然前提是 n 大于 2。
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既然如此，我们就可以减少一层循环， 我们用这个思路来优化一下上面的 dp 解法。这种解法终于可以 AC 了。
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### 代码
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代码支持 Python3:
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Python3 Code:
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```python
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class Solution:
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def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
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if n == 1:
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return 1
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if n == 2:
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return 0.5
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dp = [1, .5] * n
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for i in range(2, n):
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dp[i] = 1/n+(n-2)/n * dp[n-1]
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return dp[-1]
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```
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## 优化数学分析
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### 思路
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上面我们通过数学分析，得出了当 n 大于 2 时：
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```
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f(n) = f(n - 1)
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```
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那么是不是意味着我们随便求出一个 n 就好了？ 比如我们求出 n = 2 的时候的值，是不是就知道 n 为任意数的值了。 我们不难想出 n = 2 时候，概率是 0.5，因此只要 n 大于 1 就是 0.5 概率，否则就是 1 概率。
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### 代码
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代码支持 Python3:
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Python3 Code:
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```python
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class Solution:
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def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
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return 1 if n == 1 else .5
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```
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## 关键点
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- 概率分析
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- 数学推导
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- 动态规划
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- 递归 + mapper
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- 栈限制大小
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- 尾递归
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